ドットグーグルというgTLDがあることを初めて知りました。「とっくの昔に知っていた！」という方には残念ながら新しい情報はありません。
今のところ発見した限り、使われているのは以下の3つだけです。
TLDとはトップレベルドメイン、つまりURLの最後の.comや.netなどのことです。
gTLDとは、国別（jpやsg、cn等）のccTLD以外のもので、特定の国や地域に限定していないTLDのことです。
ドットグーグルgTLDを取得できるのか
取得不可です。この.googleを作った人か団体かわかりませんが、権利を持っている人が独占しているので、私たち一般人が.googleを使ってドメインを取ることは不可能です。
新しいgTLDを取得できるのか
ドメインを管理している団体（ICANN）に申請して作れます。今までは新しいgTLDを作ることができなかったのですが、新しくTLDが作れるようになって「.みんな」というものができるらしいですが、私個人としては欲しくありません。ちなみに、.みんなを管理しているのはアメリカの団体のようです。
今申請しているドメインを閲覧することができます。
https://gtldresult.icann.org/application-result/applicationstatus/viewstatus
その他参考ページ：
- http://venturebeat.com/2016/03/30/google-domains-dot-google/
- https://thenextweb.com/google/2012/05/31/you-might-start-seeing-google-docs-and-youtube-domain-names-soon/#.tnw_5G1KP2JL
- http://dotstories.com/dot-google-new-gtld/
<グーグルのドメインに関する情報>
